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HISTORIA

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el 650 a. C.

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chino que proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693.

Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII, quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de las matemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" de orden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwan al-Safa).

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramer presentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron la eliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.

El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría de matrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famosos que trabajaron sobre la teoría de matrices.

DEFINICIÓN

Una matriz es una tabla de datos ordenados en filas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de las líneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (m×n), y a m y n dimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el número de columnas después. En las matrices el "orden" tiene el significado de tamaño. Las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras en minúsculas para denotar a los elementos de las mismas.
Para que dos matrices sean iguales deben tener el mismo orden y los mismos elementos.

Ejemplo:

Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina vector, y se interpreta como un elemento del espacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columna y m filas) se denomina vector columna.
Ejemplos de matrices:

Matriz = 4 x 3

Matriz = 1 x 9

OPERACIONES DE MATRICES

SUMA O ADICIÓN DE MATRICES:

Dadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementos correspondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar.

Ejemplos:

PROPIEDADES DE LA SUMA:

Asociativa
Dadas las matrices m×n A, B y C

A + (B + C) = (A + B) + C
Conmutativa
Dadas las matrices m×n A y B

A + B = B + A
Existencia de matriz cero o matriz nula
A + 0 = 0 C+ A = A
Existencia de matriz opuesta
con gr-A = [-aij]

A + (-A) = 0

RESTA ENTRE MATRICES

Para que se pueda realizar la sustracción entre matrices, se deben complir las mismas propiedades que las de la suma de matrices.

Ejm:

PRODUCTO O MULTIPLICACIÓN

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número de columnas de la matriz izquierda es el mismo que el número de filas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es una matriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p (m filas, p columnas).

Ejemplos:

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).
Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.
Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.
En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices nulas
El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C.

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa, sólo aplicable a las matrices cuadradas.

MATRIZ TRANSPUESTA

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.

PROPIEDADES

La transpuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m AT (algunas veces denotada por At) formada al intercambiar las filas y columnas.

La transposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

Si A describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz AT describe la transpuesta de una aplicación lineal respecto a las bases del espacio dual.

PRODUCTO POR UN ESCALAR

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A.

Ejemplo:

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.

Asociativa: (cd)A = c(dA)

Elemento Neutro: 1·A = A

Distributiva:
De escalar: c(A+B) = cA+cB
De matriz: (c+d)A = cA+dA

APLICACION ECONÓMICA

Una empresa colombiana tiene una delegación en Cali, una en Barraquilla y otra en Bogotá. En el momento actual, en la delegación de Cali hay 30 CD, 20 DVD, 42 TV y 15 videos, en la de Barraquilla 18 CD, 10 DVD, 12 TV y 15 videos y en la de Bogotá hay 25 CD, 34 DVD, 60 TV y 30 videos.

a. Representar en notación matricial el nivel de existencia de esta empresa.

b. Calcular el nuevo nivel de existencia de la empresa si se realiza el siguiente reparto:
Cali: 4 CD, 12 DVD, 8 TV y 10 videos.
Barranquilla: 3 CD, 7 DVD, 8 TV Y 12 videos.
Bogotá: 7 CD, 10 DVD, 25 TV Y 15 videos.

c. Calcular el nuevo nivel de existencias de la empresa si se realizan las siguientes ventas:
Cali: 7CD, 8 DVD, 10 TV y 6 videos.
Barranquilla: 3 CD, 5 DVD, 12 TV y 7 videos.
Bogotá: 25 CD, 14 DVD, 43 TV y 15 videos.

d. tras un estudio de mercado la empresa tiene expectativas de aumentar sus ventas y decide doblar el nivel de existencias en cada delegación ¿Cuál será el nuevo nivel de existencias?

SOLUCIÓN

a.consideramos una matriz de orden 3x4 de manera que en la fila se considera una de las tres cuidades Cali, Barranquilla y Bogotá y en cada columna uno de los cuatro productos CD, DVD, TV y videos.

Asi la matriz

Representa el nivel de existencia de cada producto en cada delegación de la empresa.